Emiya家今天的饭
题目描述
Emiya 是个擅长做菜的高中生，他共掌握 $n$ 种烹饪方法，且会使用 $m$ 种主要食材做菜。为了方便叙述，我们对烹饪方法从 $1 ∼ n$ 编号，对主要食材从 $1 ∼ m$ 编号。
Emiya 做的每道菜都将使用恰好一种烹饪方法与恰好一种主要食材。更具体地，Emiya 会做 $a_i$, $j$ 道不同的使用烹饪方法 $i$ 和主要食材 $j$ 的菜$（1 ≤ i ≤ n，1 ≤ j ≤ m）$，这也意味着 Emiya 总共会做$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^ma_{i,j}$ 道不同的菜。
Emiya 今天要准备一桌饭招待 Yazid 和 Rin 这对好朋友，然而三个人对菜的搭配有不同的要求，更具体地，对于一种包含 $k$ 道菜的搭配方案而言：
• Emiya 不会让大家饿肚子，所以将做至少一道菜，即 $k ≥ 1$
• Rin 希望品尝不同烹饪方法做出的菜，因此她要求每道菜的烹饪方法互不相同
• Yazid 不希望品尝太多同一食材做出的菜，因此他要求每种主要食材至多在一半的菜（即 $\lfloor \frac{k}{2} \rfloor$道菜）中被使用
– 这里的 $\lfloor x \rfloor$ 为下取整函数，表示不超过 $x$ 的最大整数
这些要求难不倒 Emiya，但他想知道共有多少种不同的符合要求的搭配方案。两种方案不同，当且仅当存在至少一道菜在一种方案中出现，而不在另一种方案中出现。
Emiya 找到了你，请你帮他计算，你只需要告诉他符合所有要求的搭配方案数对质数 $998, 244, 353$ 取模的结果。
Emiya 做的每道菜都将使用恰好一种烹饪方法与恰好一种主要食材。更具体地，Emiya 会做 $a_i$, $j$ 道不同的使用烹饪方法 $i$ 和主要食材 $j$ 的菜$（1 ≤ i ≤ n，1 ≤ j ≤ m）$，这也意味着 Emiya 总共会做$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^ma_{i,j}$ 道不同的菜。
Emiya 今天要准备一桌饭招待 Yazid 和 Rin 这对好朋友，然而三个人对菜的搭配有不同的要求，更具体地，对于一种包含 $k$ 道菜的搭配方案而言：
• Emiya 不会让大家饿肚子，所以将做至少一道菜，即 $k ≥ 1$
• Rin 希望品尝不同烹饪方法做出的菜，因此她要求每道菜的烹饪方法互不相同
• Yazid 不希望品尝太多同一食材做出的菜，因此他要求每种主要食材至多在一半的菜（即 $\lfloor \frac{k}{2} \rfloor$道菜）中被使用
– 这里的 $\lfloor x \rfloor$ 为下取整函数，表示不超过 $x$ 的最大整数
这些要求难不倒 Emiya，但他想知道共有多少种不同的符合要求的搭配方案。两种方案不同，当且仅当存在至少一道菜在一种方案中出现，而不在另一种方案中出现。
Emiya 找到了你，请你帮他计算，你只需要告诉他符合所有要求的搭配方案数对质数 $998, 244, 353$ 取模的结果。
输入
第 1 行两个用单个空格隔开的整数 $n$, $m$。
第 2 行至第 n + 1 行，每行 $m$ 个用单个空格隔开的整数，其中第 $i + 1$ 行的 $m$ 个数依次为 $a_{i,1}, a_{i,2}, . . . , a_{i,m}$。
第 2 行至第 n + 1 行，每行 $m$ 个用单个空格隔开的整数，其中第 $i + 1$ 行的 $m$ 个数依次为 $a_{i,1}, a_{i,2}, . . . , a_{i,m}$。
输出
仅一行一个整数，表示所求方案数对 $998, 244, 353$ 取模的结果。
样例
输入：
3 3 1 2 3 4 5 0 6 0 0
输出：
190
说明
【样例 1 解释】
由于在这个样例中，对于每组 i, j，Emiya 都最多只会做一道菜，因此我们直接通过给出烹饪方法、主要食材的编号来描述一道菜。
符合要求的方案包括：
• 做一道用烹饪方法 1、主要食材 1 的菜和一道用烹饪方法 2、主要食材 2 的菜
• 做一道用烹饪方法 1、主要食材 1 的菜和一道用烹饪方法 2、主要食材 3 的菜
• 做一道用烹饪方法 1、主要食材 3 的菜和一道用烹饪方法 2、主要食材 2 的菜
因此输出结果为 3 mod 998, 244, 353 = 3。
需要注意的是，所有只包含一道菜的方案都是不符合要求的，因为唯一的主要食材在超过一半的菜中出现，这不满足 Yazid 的要求。
【样例 2 输入】
【样例 2 输出】
【样例 2 解释】
Emiya 必须至少做 2 道菜。
做 2 道菜的符合要求的方案数为 100。
做 3 道菜的符合要求的方案数为 90。
因此符合要求的方案数为 100 + 90 = 190。
【样例 3 输入】
【样例 3 输出】
【数据范围】
对于所有测试点，保证 $1 ≤ n ≤ 100，1 ≤ m ≤ 2000，0 ≤ a_{i, j} < 998, 244, 353$。
由于在这个样例中，对于每组 i, j，Emiya 都最多只会做一道菜，因此我们直接通过给出烹饪方法、主要食材的编号来描述一道菜。
符合要求的方案包括：
• 做一道用烹饪方法 1、主要食材 1 的菜和一道用烹饪方法 2、主要食材 2 的菜
• 做一道用烹饪方法 1、主要食材 1 的菜和一道用烹饪方法 2、主要食材 3 的菜
• 做一道用烹饪方法 1、主要食材 3 的菜和一道用烹饪方法 2、主要食材 2 的菜
因此输出结果为 3 mod 998, 244, 353 = 3。
需要注意的是，所有只包含一道菜的方案都是不符合要求的，因为唯一的主要食材在超过一半的菜中出现，这不满足 Yazid 的要求。
【样例 2 输入】
3 3
1 2 3
4 5 0
6 0 0
【样例 2 输出】
190
【样例 2 解释】
Emiya 必须至少做 2 道菜。
做 2 道菜的符合要求的方案数为 100。
做 3 道菜的符合要求的方案数为 90。
因此符合要求的方案数为 100 + 90 = 190。
【样例 3 输入】
5 5
1 0 0 1 1
0 1 0 1 0
1 1 1 1 0
1 0 1 0 1
0 1 1 0 1
【样例 3 输出】
742
【数据范围】
| 测试点编号 | n = | m = | $a_{i, j} < $ |
| 1 | 2 | 2 | 2 |
| 2 | 3 | ||
| 3 | 5 | 2 | |
| 4 | 3 | ||
| 5 | 10 | 2 | |
| 6 | 3 | ||
| 7 | 10 | 2 | 1000 |
| 8 | 3 | ||
| 9∼12 | 40 | 2 | |
| 13∼16 | 3 | ||
| 17∼21 | 500 | ||
| 22∼25 | 100 | 2000 | 998, 244, 353 |
对于所有测试点，保证 $1 ≤ n ≤ 100，1 ≤ m ≤ 2000，0 ≤ a_{i, j} < 998, 244, 353$。